Das Ziegenproblem

Denken in Wahrscheinlichkeiten ist nicht ganz einfach

Denken in Wahrscheinlichkeiten
ist oftmals Glückssache.
Hier ein berühmtes Beispiel:

Das Ziegenproblem

Die Denkfähigkeit des Menschen
ist nicht in allen Bereichen
gleichmäßig gut ausgeprägt.
(nur deshalb gibt es ja Denkmethoden)
Es gibt besonders auffällige Denk-Defizite
bei Statistik und Wahrscheinlichkeiten ...

Wetten?
 

Können Sie das Ziegenproblem lösen?

Am Ende einer Fernseh-Show darf der Hauptgewinner durch eine Art Losentscheid seinen Gewinn ermitteln. Er wählt eine von drei Türen, hinter denen sich möglicherweise der Gewinn verbirgt. Eine der drei Türen verbirgt den Hauptgewinn. Hinter den beiden anderen steht jeweils ein Ziegenbock als Symbol für die Niete.

Nachdem nun der Gewinner eine Tür ausgewählt hat, gibt der Showmaster ihm eine zusätzliche Chance: Er öffnet eine der beiden verbliebenen Türen, eine Niete natürlich, und bietet dem Kandidaten die Chance, seine Wahl beizubehalten oder auf die dritte noch verbliebene Tür zu wechseln.

Die entscheidende Frage lautet:

Erhöhen sich die Gewinnchancen, wenn er wechselt? Bleiben sie gleich? Oder sinken sie?

Über diese scheinbar so simple Aufgabe wurde selbst in Fachkreisen ein erbitterter Streit ausgetragen. Angeblich haben sich sogar Mathematiker von Weltruf zu gegenseitigen Beleidigungen hinreißen lassen. Versuchen Sie also, diese Frage zu beantworten, bevor Sie weiterlesen.

Halt! Bitte wirklich erst entscheiden: Was ist die Lösung des Ziegenproblems: Verbessern sich die Chancen, ja oder nein?

Bitte wirklich nachdenken! Nicht mogeln!

Der "gesunde Menschenverstand" sagt uns, dass der Wechsel auf keinen Fall etwas bringen kann. Es hat sich doch durch die zusätzliche Information gar nichts geändert. Aber ist das wirklich richtig? Denken Sie einmal darüber nach.

Eine überraschende Antwort!

Die überraschende Antwort ist: Der Wechsel verdoppelt (!) die Gewinnchance.

Einen exakten mathematischen Beweis für die Lösung des Ziegenproblems führt man übrigens über abhängige Wahrscheinlichkeiten. Für mathematische Laien: Stellen Sie sich vor, die Show würde 999 mal durchgeführt. Der Kandidat wählt stets nach Zufallsprinzip aus und nimmt das Angebot des Showmasters niemals wahr. Dann ist seine Gewinnchance stets 1:3 und er wird ungefähr 333 Autos gewinnen. Die restlichen 666 Autos, also das Doppelte, standen hinter der zweiten Tür. Der Wechsel wäre richtig gewesen.

Unser "gesunder Menschenverstand wehrt sich regelrecht gegen dieses Ergebnis. Das Ziegenproblem hat es wirklich in sich. Wir denken, das könne nicht wahr sein. Und doch ist es so. Der Wechsel verdoppelt die Gewinnchance.

Es gibt weitere Beispiele für unsere Unfähigkeit, mit Statistik und Wahrscheinlichkeiten denktechnisch umzugehen. Wahrscheinlichkeitsrechnung ist im Grunde kein allzu kompliziertes Gebiet. Aber es zeigt immer wieder Ergebnisse, die scheinbar vom "gesunden Menschenverstand" abweichen. Selbst die Eltern von Fünftklässlern haben manchmal Probleme, die Aufgaben ihrer Kinder zu lösen.

Ein Fan und seine Mannschaft

Halten Sie es für möglich, dass Sie und ein paar Spieler der deutschen Fußball-Nationalmannschaft genau heute gemeinsam 77777 Tage alt werden? Also das heutige Alter in Tagen dieser Spieler aufaddiert, Ihr eigenes Alter in Tagen hinzugefügt und das Ergebnis ist genau 77777? Ist das möglich? Prüfen Sie es nach mit der verblüffenden Rechenfunktion von my-age-in-days.com.

Erstaunt? Und jetzt sollten Sie gleich nochmal dorthin zurückkehren und alle Nationalmannschaften der WM 2014 durchprobieren. Sie werden auch feststellen, dass Sie das morgen gleich wieder ausprobieren können und einfach mit ein paar anderen Spielern wieder zum gleichen verblüffenden Ergebnis kommen. Und Sie können das Ihr ganzes Leben lang jeden Tag probieren. Es wird einfach immer eine solche Kombination geben.

Um das zu verstehen, benutzen wir ein vergleichsweise wesentlich einfacheres Problem:

Das Geburtstagsproblem...

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 28 Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben? Bei derartigen Aufgaben scheitern wir kläglich. Schätzen Sie bitte zuerst und rechnen Sie dann nach!

Warum denken wir falsch?

Welche Möglichkeiten gibt es überhaupt, dass Personen gleichzeitig Geburtstag haben? Nehmen wir ein Beispiel:

Hans, Maria, Michael und Georg treffen sich. Dann könnten gemeinsam Geburtstag haben:

1. Hans und Maria 2. Hans und Michael 3. Hans und Georg

4. Maria und Michael 5. Maria und Georg

6. Michael und Georg

Bei vier Personen sind das also  (3+2+1=)  6 Möglichkeiten.

Bei 25 Personen sind es  (24+23+22+...+2+1=)  300 Möglichkeiten !
Offenbar mehr, als wir in unsere Schätzung einfließen lassen.
 

Wie wird gerechnet?

Ist n die Zahl der Personen, wie viele verschiedene Möglichkeiten der Verteilung der Geburtstage gibt es dann? Für jede Person bestehen 365 Möglichkeiten. Diese sind miteinander zu multiplizieren. Dann erhält man 365 hoch n.

Wie viele Möglichkeiten gibt es für zusammenfallende Geburtstage? Da ist es leichter, erst einmal auszurechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass keine Geburtstage zusammenfallen. Das ist, wie wenn man nacheinander Lottokugeln aus einer Lostrommel nimmt und nicht mehr zurücklegt. Es ergeben sich 365 • 364 • 363 • ... • (366-n) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass Geburtstage in der Gruppe zusammenfallen, ist also (365hoch n - 365 • 364 • ... • (366-n))/365 hoch n.

Bei 3 Personen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit zu p=0,8%. Bei 25 Personen schon etwa 57 %

Wahrscheinlichkeiten spielen übrigens auch eine Rolle in der Strategie und der Spieltheorie.

Es gibt eine Vielzahl von mathematischen Problemen, denen man besser mit dem Taschenrechner auf den Grund geht, als mit dem "gesunden Menschenverstand". Die Schätzung des Ersatzteilverkaufs über die nächsten 10 Jahre, die Fehlerwahrscheinlichkeit in Produktions-Chargen, die realistische Einschätzung von Verbrauchertests, die Lebensdauer eines Produkts etc, all diese Dinge klingen einfach und werden auch mutig geschätzt und beurteilt. Es bedarf aber sehr viel Erfahrung, wenn man Überraschungen vermeiden möchte.

Auch einfachere Zusammenhänge verursachen Probleme ...

Erinnern Sie sich an die Legende von der Erfindung des Schachspiels: Der Erfinder verlangte ein Reiskorn für das erste Feld des Schachbretts und jeweils eine Verdoppelung für alle nachfolgenden Felder. Nach 10 Feldern sind es etwa 1000 Körner, nach 20 Feldern eine Million, nach 30 Feldern eine Milliarde und nach 64 Feldern wäre man etwa bei 16 Milliarden Milliarden ...

Auch die lawinenartige Entwicklung von Variantenzahlen vermag man nur einzuschätzen, wenn man rechnet. Wenn man keine Modellbeschränkung durchsetzen kann, sondern seine 190 verschiedenen Produkte jeweils in 3 Materialien, 22 Farben, 12 nationalen Normen, 33 verschiedenen aufgedruckten Markennamen, 4 Motorstärken, 5 verschiedenen Netzsteckern und 3 Griffvarianten produzieren muss oder will, dann multiplizieren sich die Zahlen der potentiellen Varianten aus und sprengen schnell alle Möglichkeiten der Lagerhaltung und der Organisation ...

Dieses Variantenproblem ist wie viele ähnliche Probleme eigentlich leicht "zu durchschauen". Dennoch liefen Unternehmen schon reihenweise unvorbereitet in diese Variantenfalle. Unser "gesunder Menschenverstand" akzeptiert das eben doch nicht so leicht.
 

Große Zahlen

Können Sie sich vorstellen, wieviel CO₂ die Menschheit im Jahr verursacht? Können Sie sich einen Kubik-Kilometer Kohle vorstellen? Und gleich mehrere davon? Deshalb gibt es überhaupt so etwas wie Awareness-Counter. Und versuchen Sie mal zu schätzen, wieviele Sterne es im Weltall so gibt.

Wahrscheinlichkeit und Risiko

Wir Menschen haben größte Schwierigkeiten, das Risiko seltener Ereignisse abzuwägen. Und wir werfen auch Wahrscheinlichkeiten und Risiko leichtfertig durcheinander. "Das konnte niemand absehen!" ist ein Spruch, den man nur zwei Jahre nach dem Beinahe-Zusammenbruch des Welt-Finanzsystems schon wieder hört, diesmal in Zusammenhang mit der Kernkraft. Die Wahrscheinlichkeit, dass etwas so Schwerwiegendes passiert, ist "extrem gering", birgt aber ein gewaltiges Risiko. Zwei völlig verschiedene Dinge. Und "extrem gering" heißt in Verbindung mit der Kernkraft: Schon vor der japanischen Katastrophe gab es mindestens in einem halben Prozent aller existierenden Atomreaktoren schon Kernschmelzunfälle. Wie wahrscheinlich ist ein solcher Unfall in den nächsten 50 Jahren, wenn er in den letzten 50 Jahren dreimal vorgekommen ist?

Wir lassen uns also sehr wahrscheinliche Dinge als unwahrscheinlich verkaufen, während wir beim Lotto-Spielen auf Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:140000000 hoffen und Geld dafür verwetten. Unterscheiden wir also zwischen Wahrscheinlichkeit und Gefahr. Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie oft wir ein Ereignis erwarten müssen. Das Ausmaß der Folgen ist davon unabhängig. Einem Mathematiker des 19. Jahrhunderts wird sinngemäß folgende Aussage zugeschrieben: "Wie mikroskopisch gering die Wahrscheinlichkeit für die Existenz der Hölle auch ist, lässt sie angesichts der Unendlichkeit der potentiellen Strafe keinerlei Risiko zu."

Seltene Ereignisse

Unser Gehirn kann viele Dinge sehr gut abschätzen: Wenn ein Ereignis 100 Mal im Jahr auftritt, erwarten wir, dass sich das im nächsten Jahr so fortsetzt. Tritt es bisher einmal jährlich auf, erwarten wir ein Ereignis pro Jahr in der Zukunft. Sollte es tatsächlich anders kommen, sind wir erstaunt und erforschen die Ursachen. Bei noch selteneren Ereignissen wird es dann aber schwierig.

Mit Erstaunen liest man z. B.: In Japan soll in den letzten 150 Jahren schon eine Tsunamiwelle von 38 m Höhe gemessen worden sein. Kernkraftwerke legt man aber nur für gut die Hälfte davon aus. Denn wenn man nur 100 Jahre zurückblickt, ist das ja noch nicht vorgekommen und "extrem unwahrscheinlich". Denken in Wahrscheinlichkeiten ist sehr stark von Wunschdenken überlagert. Zeiträume, die eine Lebensspanne überschreiten, verarbeiten wir nicht mehr richtig. Wenn etwas nur einmal in hundert Jahren vorkam, dann "ist es unwahrscheinlich". Und oft genug trifft man auf die Vorstellung: Dann dauert es ja auch noch hundert Jahre, bis es wieder vorkommt. Noch selteneres, etwa schwere Erdbeben im Oberrheingraben, die bereits 400 Jahre zurückliegen, kommen im Bewusstsein der Menschen gleich gar nicht mehr vor.

Oftmals schließen Menschen direkt vom "sich nicht vorstellen können" auf völlige Unwahrscheinlichkeit.
Wenn etwas noch gar nie vorkam, wird es auch nicht vorkommen. Und das bei Dingen, für die so etwas wie Wahrscheinlichkeitsrechnung so angemessen ist wie ein Hammer zum Rühren der Suppe. Die Welt ändert sich schließlich ständig. In diesen Tagen soll z. B. eine Solaranlage für das Dach unserer katholischen Dorfkirche genehmigt worden sein. Wer hätte das vor 20 Jahren für möglich oder gar für "wahrscheinlich" gehalten? Heute fragen sich dieselben Menschen, warum das so lange gedauert hat. Dinge die außerhalb der Vorstellungswelt liegen, hält man nicht für möglich.

Nicht nur die Zeit, sondern auch die Entfernung spielt uns einen Streich. Noch dazu glauben wir nämlich, Katastrophen kämen nur in entfernten Erdteilen vor. Überall auf der Welt ist der Glaube verbreitet, die jeweils eigenen Kraftwerke wären die besten der Welt. So wie die übergroße Mehrheit der Autofahrer fest überzeugt ist, überdurchschnittlich gut zu fahren. Dinge wie Schlamperei, Korruption oder Terrorismus will man sich einfach nur anderswo vorstellen. Man reibt sich vielleicht die Augen, wenn man liest, dass beim Bau der Kölner U-Bahn streckenweise jeder zweite Stahlbügel gestohlen wurde. Und doch würde man den Gedanken, irgendetwas Ähnliches könnte auch im Umfeld eines Kernkraftwerks vorkommen, weit von sich weisen. Die Vorstellung ist unserem Verstand zu fremd. Was nicht sein darf, kann auch nicht sein.

Teilmengenbildung

Das ist ein Teilbereich eines allgemeineren Phänomens. Um beim Beispiel Atomkraft zu bleiben: Wenn unser Bild von der Wahrscheinlichkeit gestört wird, bildet unser Gehirn Teilmengen: Harrisburg liegt dann in der Teilmenge "Zeit bevor man sich der Gefahren richtig bewusst war". Alles Spätere liegt in einer "Zeit, in der man bereits hinzugelernt und neue Vorschriften geschaffen hat". Nicht vergleichbar. Alles in Butter. Tschernobyl liegt in der Teilmenge der "unterentwickelten" Länder. Kraftwerke in Westeuropa liegen in der Teilmenge der "hochentwickelten Industrieländer". Nicht vergleichbar. Alles in Butter. Nun, da auch Japan betroffen ist, bilden wir neue Teilmengen: Da gibt es die "unsicheren" Siedewasserreaktoren und die "sicheren" Druckwasserreaktoren. Alles in Butter.

Eine solche Teilmenge mag bei unterschiedlichen Ursachen und Wirkungen selbstverständlich auch völlig verschiedene Wahrscheinlichkeiten nach sich ziehen können. Und auch das würde dann, je nach persönlicher Voreingenommenheit, natürlich auch wieder ganz einfach ausgeblendet. Tatsache ist jedenfalls, dass unser Verstand mit seltenen Ereignissen nicht zurechtkommt und auf Mechanismen zurückfällt, mit denen es üblicherweise Aberglauben verteidigt.

Verkettung von Umständen

Auch wer in der Schule gut aufgepasst hat, tut sich schwer damit, Wahrscheinlichkeiten einzuschätzen, wenn mehrere Gefahren gleichzeitig einwirken. Und doch sind es "Zusammentreffen sehr unwahrscheinlicher Faktoren", die dann z. B. den ersten Weltkrieg auslösten und noch Jahrzehnte später von der Wissenschaft bestaunt wurden. Wenn schon ein Einzelereignis unserem Verstand so große Schwierigkeiten macht, was ist dann erst, wenn wir das Zusammenwirken mehrerer Faktoren haben, die allesamt nur eine ungewisse, nicht einschätzbare Wahrscheinlichkeit haben?

Unser Verstand ist ganz offensichtlich schlecht ausgestattet für den Umgang mit Wahrscheinlichkeiten. Gerade das Abschätzen von großen Gefahren mit geringer Wahrscheinlichkeit fällt uns extrem schwer. Aber das ist kein Grund, sich mit diesem Thema nicht zu befassen. Sehr empfehlenswert zu diesem Thema ist das Buch "Der schwarze Schwan".